Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Верен второй вариант.
Правильно: в бассейн.
Верно: против бывшего госсекретаря Хиллари Клинтон.
Пишутся раздельно сочетания с частицей таки, предшествующей слову, к которому она относится (обычно сказуемому): Однажды я таки посетила бассейн. Ср.: Однажды я посетила-таки бассейн.
Правильно: пошли в бассейн, были в бассейне.